Facharbeit über das zweite keplersche Gesetz

Zum leichteren Verständnis der Facharbeit zuerst ein paar Worte zu ihrem Aufbau. Die ersten Seiten zeigen kurz den geschichtlichen Hintergrund auf, danach folgt der Lebenslauf von Johannes Kepler. Er ist stark gekürzt, da es so viele interessante Punkte gibt, daß man mehrere Facharbeiten daraus machen könnte. Nur eine kleine einführende Anmerkung für den Leser sei gesagt: Kepler war für seine Zeit ein toleranter Denker. Er litt sein Leben lang unter dem Glaubenskrieg zwischen dem Luthertum und der katholischen Kirche. Er sah alle Christen als gleich an und scheute sich nicht, seine Meinung zu vertreten. Von diesem Kurs ließ er sich sogar nicht durch seine Exkommunikation abbringen. Seine Texte wirken heute oft (unfreiwillig) ironisch. Interessant ist auch, daß Kepler nicht der Naturwissenschaftler war, den man sich heute gern unter ihm vorstellt. Er wollte eigentlich Theologie studieren und ist nur durch glückliche Umstände Astronom geworden.

So muß bedacht werden, daß Kepler zeit seines Lebens immer ein tief religiöser Mensch war und durch diesen Glauben geforscht hat. Er versuchte in seinem Leben die „Harmonien" in der Schöpfung zu finden. Für Kepler waren die Astronomie und die Astrologie eine Einheit.

An den Lebenslauf schließt die Herleitung des 2. Gesetzes an sie schließt mit dem Beweis der Flächengleichheit. Im Anhang finden sich noch einige Blätter zu Kepler und seinen Werken, die der Autor bei einem Besuch des Keplermuseums erhalten hat.

Nun noch ein paar Worte von Albert Einstein zu Kepler:

„Weder durch seine Armut noch durch das Unverständnis der maßgebenden Zeitgenossen, die den Verlauf des Keplerschen Lebens und Werkes erheblich bestimmten und die freie Entfaltung seines Könnens behinderten, ließ er sich lähmen oder entmutigen. Dabei hatte er es mit einem Gegenstande zu tun, der den Bekenner der Wahrheit auch unmittelbar gefährdete. Er gehörte jedoch zu den Wenigen, die überhaupt nicht anders können, als auf jedem Gebiete offen für ihre überzeugungen einzustehen. Dabei war er nicht einer, der an dem Kampfe mit anderen unmittelbares Vergnügen fand, wie es etwa bei Galilei offenbar der Fall war, dessen göttliche Bosheiten noch heute den verständnisvollen Leser entzücken. Kepler war ein frommer Protestant, der kein Hehl daraus machte, daß er nicht alle Entscheidungen der Kirche billigte."

2. Die drei Keplerschen Gesetze:

1. Die Umlaufbahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Die Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer mittleren Entfernungen.

3. Die Weltbilder

3.1 Das geozentrische Weltbild

Planetenbahnen Die Beschäftigung mit dem Sternenhimmel reicht weit in die Geschichte der Menschheit zurück. Schon damals versuchte man das Geschehen am Himmel zu erklären. Diese Fakten wurden unter anderem beobachtet:

a) Die Sonne bewegt sich im Winter auf einer anderen Bahn als im Sommer.

b) Die Planeten bewegen sich meist ähnlich wie die Sonne, doch kommt es auch vor, daß sie zeitweise am Himmel stillstehen, oder für eine Weile rückläufige Bewegungen ausführen.

Im Altertum stellte man einige Hypothesen auf, die von K. Ptolemäus (85-165 n. Chr.) in seinem Buch „Almagest" zusammengefaßt wurden. Dieses Buch blieb 1400 Jahre für die Himmelskunde maßgebend. Dieser Lehre liegt die Annahme zugrunde, daß die Erde im Mittelpunkt der Welt stehe und sich die Himmelskörper mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf kreisförmigen Bahnen bewegen. Diese Grundannahmen sind durch Beobachtungen am Sternenhimmel und durch den mythischen Glauben der damaligen Zeit entstanden, nämlich daß die Sterne göttliche Wesen seien, und daß die Kreisbewegung die vollkommenste Bewegung sei. Um nun die Abweichungen bei bestimmten Himmelskörpern plausibel zu erklären, kombinierte man mehrere Kreisbewegungen miteinander. Diese so entstehenden Kurven nennt man Epizykloiden. Diese Theorie nennt man das geozentrische oder das Ptolemäische Weltbild. Doch mit der Zeit wurden die Messungen genauer, so daß man Epizykloiden 2. Ordnung brauchte, was das ganze System immer komplizierter machte. Teilweise war es selbst dann nicht mehr möglich die Abweichungen zu erklären, so daß eine neue Vorstellung der Planetenbewegungen immer notwendiger wurde.

3.2 Das heliozentrische Weltbild

Diesen Schritt tat als erster N. Kopernikus (1473-1543), indem er im Jahre 1543 sein Werk „De revolutionibus orbium coelestium" veröffentlichte. Der grundlegende Unterschied zur Ptolemäischen Lehre bestand darin, daß er den Mittelpunkt der Welt von der Erde auf die Sonne übertrug. Dazu stellte er fest, daß sich die Erde täglich einmal um ihre Achse dreht und die Erde sowie die Planeten um die Sonne. Die Lehre des Kopernikus mit der Sonne als Mittelpunkt wird als das heliozentrische oder Kopernikanische Weltbild bezeichnet. Die Idee war zu dessen Lebzeiten nicht neu, schon einige griechische Philosophen hatten sie verkündet. Die eigentliche Leistung war die Veröffentlichung, da sie mit Gefahr für Leib und Leben verbunden war, denn die katholische Kirche lehnte diesen Bruch mit dem alten Wissen und den Erfahrungen ab, weil sie fürchtete, an Macht zu verlieren. Somit kostete diese Haltung vielen Menschen das Leben, da sie als Ketzer verbrannt wurden. Das Verbot des heliozentrischen Systems wurde erst 1835 aufgehoben.

4. Johannes Kepler

4.1 Lebenslauf

Bild Johannes Kepler wurde am 27.12.1571 in der schwäbischen Reichsstadt Weil der Stadt geboren. Er war das erste von sieben Kindern. Seine Eltern waren Lutheraner. Seine Kindheit war anscheinend nicht sehr glücklich, da es oft Streit gab. Von seinen Eltern hatte keine gute Meinung. In der damaligen Horoskopsprache berichtet er von seinem Vater, daß er „Saturn im Gedrittschein zum Mars habe, der aus ihm einen lasterhaften, schroffen und händelsüchtigen Menschen gemacht habe." über seine Mutter sprach er nicht besser. Allerdings hinderte ihn diese negative Ansicht nicht, ihr beizustehen, als sie im Verdacht stand, eine Hexe zu sein.

Sein Vater kämpfte als Söldner und seine Mutter zog mit ihm und ließ die Kinder bei den Großeltern zurück. In dieser Zeit erkrankte der Knabe Johannes an den Blattern, überlebte, war sein restliches Leben aber kurzsichtig. Er besuchte die Volksschule, die Lateinschule und dann später die Klosterschule Adelberg. Ende November 1586 wechselte er in das evangelische Seminar zu Maulbronn. Zwei Jahre später begab sich Kepler nach Tübingen und erlangte dort als knapp Siebzehnjähriger am 25. September 1588, nach gut bestandenem Examen, den untersten akademischen Grad als Bakkalaureus. Am 17. September 1589 wurde er an der Tübinger Universität angenommen. Er begann nun ein Theologiestudium.

Im Studium lernt er Michael Mästlin (1550-1631), Professor für Mathematik und Astronomie, kennen. Dieser unterrichtet ihn und lehrt ihn auch die verrufene kopernikanische Lehre. Durch diesen Professor erhält er seine zukünftige Ausrichtung. Während der Studienzeit beherrschte der Kampf zwischen Lutheranern und Kalvinisten die Gemüter. Auch gewannen seit der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts die orthodoxen Kräfte im Luthertum die Oberhand. Darunter hatte Johannes Kepler sein ganzes Leben lang zu leiden. Im Jahr 1594 erhielt er das Angebot, als Professor für Mathematik nach Graz zu gehen und zugleich die Stelle eines Landschaftsmathematikus der Steiermark zu übernehmen. Die Entscheidung fiel ihm schwer, da er genau wußte, daß er damit die Chance, Theologe zu werden, aufgab. Außerdem war damals Graz ein gefährdeter Außenposten des Luthertums.

Johannes Kepler entschied sich schließlich doch, nach Graz zu gehen. Er unterrichtete dort in der Oberstufe Mathematik, verbunden mit Astronomie. Da das Fach für Schüler wahlfrei wahr, hatte er genug freie Zeit, die er für eigene Arbeiten nutzte. 1596 heiratete er Barbara Müller von Mühlbeck (1573-1611). Im gleichen Jahr wurde sein erstes Werk „Mysterium Cosmographicum" gedruckt. Die Lage in Graz wurde für ihn im Laufe des Jahres 1599 unhaltbar, und so brach er nach Prag auf und wurde dort von Tycho Brahe (1546-1601), dem Astrologen des Kaisers Rudolf II., fürstlich empfangen. Er entschloß sich, als Mathematiker für ihn zu arbeiten.

Am 24. Oktober starb Tycho Brahe und Kepler wurde sein Nachfolger. Durch die Mars-Studien von Tycho Brahe angeregt, befaßte sich Kepler mit der Lichtbrechung bei kosmischen Körpern und galt deshalb als Begründer der modernen Optik und Astronomie. 1611 holte ihn der Glaubenskrieg wieder ein, er reist nach Linz und bekam für die nächsten 14 Jahre die Stelle als Landschaftsmathematikus. Im gleichen Jahr starb seine Frau Barbara. 1613 schloß er seine zweite Ehe mit Susanne Reuttinger. 1577 wurde die Konkordienformel verfaßt. Sie sollte als Bekenntnisschrift zur lutherischen Kirche dienen. Wer ein kirchliches Amt übernehmen wollte, mußte diese Formel anerkennen und unterschreiben. Allerdings stieß sie die freiheitlichen Denker ab. So auch Johannes Kepler: „Nicht Haarspalterei, sondern brüderliche Liebe läßt es bei mir nicht zu, die zu verdammen, die sich an die alten Lehren halten, und ich will ihnen lieber folgen als der Konkordienformel..." Unter anderem wegen der Konkordienformel, die er nicht unterschrieb, wurde ihm der Empfang des Abendmahles verwehrt und er exkommuniziert. So gelang es ihm nie, obwohl es einer seiner größten Wünsche war, ein Lehramt in Tübingen zu erhalten.

Von 1615 bis 1621 dauerte der Hexenprozess gegen Keplers Mutter. Er setzte sich mit allen Mitteln für sie ein, und schaffte es schließlich, sie zu befreien.

Oft litt Kepler an Geldnot obwohl ihm große Summen zustanden.

1618 entdeckt er das dritte Gesetz. Ein Jahr danach starb Kaiser Matthias. Ihm folgte Erzherzog Ferdinad II., der schon für Keplers Vertreibung aus der Steiermark verantwortlich war. Und so wurde es in der Stadt Linz nun auch für ihn gefährlich. Nach der Belagerung der Stadt Linz reiste Kepler mit den gerade gedruckten „Rudolphinischen Tafeln" nach Frankfurt am Main zur dortigen Herbstmesse des Buchhandels.

Ende 1628 siedelte die Familie von Regensburg nach Sagan über. Er war nun für Wallenstein (1583-1634) als Astrologe tätig. Als der Kaiser dem Druck der Gegenreformanten nachgab und den toleranten Wallenstein vom Heer abberief, konnte dieser seine Schulden bei Kepler nicht mehr bezahlen. So mußte Kepler nach Linz reisen, um dort Geld einzutreiben und um sich gleichzeitig nach einem neuen Wohnort umsehen.

Er begab sich über Leipzig nach Regensburg. Auf der Reise erkrankte er und kam mit Fieber in Regensburg an. Als das Fieber immer stärker wurde, griff man ohne Erfolg zu dem damals üblichen Aderlassen. Kepler starb schließlich am 15. November 1630 im Alter von 59 Jahren.

4.2 Keplers Weltanschauung:

„Unsere Andacht dabei ist um so tiefer, je besser wir die Schöpfung und ihre Größe erkennen." Kepler ging von einem Wechselverhältnis aus: Andacht führt zu Erkenntnis, Erkenntnis weckt Andacht. Daran sieht man, wie weit Kepler noch seiner Zeit verhaftet war. Selbst von Galileo Galilei trennten ihn Welten. Heute werden nur noch seine drei Gesetzte gesehen. Den eigentlichen Kepler, der noch anhand des Glaubens und der Empfindungen versuchte, den Kosmos zu erklären, hat man weitgehend vergessen. Auch die Vielzahl seiner Werke, in denen er versuchte, die Welt durch seine Harmonielehre zu ergründen, sind in Vergessenheit geraden.

Unterschrift Kepler

5. Herleitung des zweiten Keplerschen Gesetzes

5.1 Der Impuls

Massen Um das zweite Keplersche Gesetz mit Hilfe des Drehimpulses zu definieren, ist es notwendig den Impuls zu kennen. Ein Impuls ist nach dem Lexikon Brockhaus „(...) ein Vorgang (impulsförmiger Vorgang, Stoß), dessen Augenblickswerte nur innerhalb einer beschränkten Zeitspanne merklich von Null abweichen und dabei einen beliebigen Verlauf haben. (...) Er kann unipolar sein (...) oder bipolar (mit Vorzeichenwechsel und gleich großen Flächen unter den Kurventeilen beiderseits der Zeitachse; (...) Ein Körper oder ein Teilchen der Masse m, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, haben den Impuls p=mv. (...)" Zur Veranschaulichung des Impulses betrachtet man folgendes Beispiel: Ausgegangen wird zur Vereinfachung von einem Zweikörpersystem. In solch einem abgeschlossenen System ist die Energie konstant. Man stellt sich nun einen Körper mit der Masse m₁, der eine Geschwindigkeit ₁hat vor. Auf ihn stößt ein zweiter Körper mit der Masse m₂ und der Geschwindigkeit . Beide ändern ihre Geschwindigkeiten um bzw. . Nach dem Gesetz von actio und reactio ist die Kraft , welche die Masse m₂ auf m₁ ausübt, untrennbar mit der gleich großen, aber entgegengesetzt gerichteten Kraft verbunden, mit der die Masse m₁ auf m₂ wirkt: = (Abb. 3). Hieraus folgt mit der Newtonschen Bewegungsgleichung . Da der erste Körper genauso lange auf den zweiten Körper mit der Kraft wirkt wie der zweite Körper auf den ersten mit der Kraft , ist es möglich die beiden Beschleunigungen mittels der gleichen Stoßzeit ausdrücken. Die Gleichung sieht dann folgendermaßen aus:

Werden beide Seiten mit multipliziert, ergibt sich:

Das Minuszeichen bedeutet, daß sich die Geschwindigkeit des einen Körpers vergrößert, wenn die des anderen abnimmt. Dieses Produkt wird nach der Gleichung „Masse mal Geschwindigkeit" also Impuls () genannt. Unter Impuls versteht man also die Vektorgröße:

In Worten geschrieben: Die Zunahme des Impulses an einem Körper ist gleich der Abnahme am anderen. Die Vektorsumme der Impulse ändert sich somit nicht, wenn die Körper Kräfte aufeinander ausüben. Sie ist ein konstanter Vektor. Als letztes berücksichtigt man die Zeit vor und nach dem Stoß. Die Geschwindigkeiten und bedeuten jetzt vor, und sowie nach dem Stoß. Der Geschwindigkeitsunterschied ist dann und . Eingesetzt in die vorherige Gleichung ergibt sich:

(konstanter Vektor)

In komplexeren Systemen mit n-Massen und deren Geschwindigkeiten gilt dann entsprechend:

[Picture]

5.2 Die Energie eines rotierenden Körpers und das Trägheitsmoment J

Zusätzlich ist das Wissen über das Trägheitsmoment nötig. Wenn ein starrer Körper um eine Achse rotiert, haben die Teilchen mit größerem Abstand von der Achse höhere Bahngeschwindigkeit und damit eine größere kinetische Energie. Dem i-ten Teilchen der Masse kommt die Bewegungsenergie zu. Die von den Radien abhängigen Geschwindigkeiten ersetzt man durch die allen Punkten des starren Körpers gemeinsame Winkelgeschwindigkeit nach . Die Bewegungsenergie des i-ten Teilchens wird dann folglich:

Die Energie ist ein Skalar. Dadurch addieren sich die Einzelbeträge zu einer Gesamtenergie, der sogenannten Rotationsenergie:

Die Summe (bzw. im Fall einer punktförmigen Masse) nennt man das Trägheitsmoment J des Körpers relativ zur betreffenden Achse. Es ist also:

Vergleicht man die Rotationsenergie mit der Formel für die kinetischen Energie , so entspricht die Geschwindigkeit v in E, der Winkelgeschwindigkeit w in T und der Impuls dem sogenannten Drehimpuls . Analog zur Konstanz des (gesamt) Impulses gilt jetzt:

(konstantes Skalar)

5.3 Die Fläche eines Kreissegments

[Picture] Diese Formel macht man sich am besten anhand einer Kreisbewegung klar. Die Fläche des Gesamtkreises beträgt bekanntlich . Die Fläche Kreissegments ist genau der -te Teil davon, also

Im Falle der Kreisbewegung gilt dies sogar exakt für alle (da r konstant ist).

5.4 Das Flächengesetz

[Picture] Man betrachtet nun einen Massepunkt mit der Masse m, der sich zunächst in einem Punkte in der Nähe des Perihel (P) befindet. Er bewegt sich im Zeitintervall mit der Winkelgeschwindigkeit nach , wobei der Fahrstrahl den Winkel überstreicht. Nach einiger Zeit befindet sich der Massenpunkt in der Nähe des Aphels (A) im Punkte . Er bewegt sich in dem gleichen Zeitintervall mit der Winkelgeschwindigkeit nach , wobei der Fahrstrahl den Winkel überstreicht. Wegen der Kreisbewegung muß gelten:

Nun setzt man für J das Trägheitsmoment:

und

Und für die Winkelgeschwindigkeiten:

[Picture] und

Und erhält dann:

[Picture]

Die Masse gekürzt und mit auf beiden Seiten multipliziert:

Allgemein gilt für die von dem Fahrstrahl r überstrichene Fläche für kleine Winkel (in der obigen Zeichnung jeweils rot schraffiert/ die Probe ist im Kapitel davor „Die Fläche eines Kreissegmentes" nachzulesen) die Formel . Die obige Gleichung bedeutet also:

Daraus ergibt sich, daß in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstrichen werden.

5.5 Erklärung der flächengleichen Dreiecke

[Picture] Isaak Newton erklärte die Flächengleichheit mit folgender überlegung: Ein Planet bewegt sich in der Zeit mit der Geschwindigkeit von A nach B. So gilt AB . Im Punkt B wird ihm ein Stoß in die Richtung der Sonne S versetzt. Dadurch erhält er die zusätzliche Geschwindigkeit zur Sonne hin. Da parallel zu B�C ist ergibt sich =B�C. Nun hat er die Geschwindigkeit und gelangt nicht zu B� sondern durch die Richtung von zu C. Deshalb sind die Dreiecke SAB (gestrichelt) und SBB� sowie SBC (gestrichelt) flächengleich (gleiche Grundlinie, gleiche Höhe) sofern man bedenkt, daß der Wegunterschied AB im Verhältnis zu AS verschwindend gering ist. Erteilt man dem Planeten in C wieder eine Geschwindigkeitsänderung , die wieder in Richtung auf S weist (aber einen anderen Betrag als haben kann), so geht =CC� in CD, mit über. Denkt man sich kleinere Stöße in kürzeren Abständen, so rundet sich die eckige Bewegung ab. Die Gleichheit der Flächen ändert sich jedoch nicht. Bei einer ständig auf S zu gerichteten Kraft, sind die in gleichen Zeiten vom Fahrstrahl Sonne-Planet überstrichenen Flächen gleich. Dieser Flächensatz gilt auch, wenn sich die auf das Zentrum S gerichtete sogenannte Zentralkraft ändert. Aus diesen Tatsachen wurde der Schluß gezogen, daß, falls ein Körper unter der alleinigen Wirkung einer auf ein feststehendes Zentrum S gerichteten Kraft (= Zentralkraft) stehe, so würde er eine Zentralbewegung nach dem zweiten Keplerschen Gesetz ausführen.

5.6 Der Drehimpuls als Vektor

[Picture] Man nimmt an, daß ein Teilchen (oder z.B. ein Planet) sich auf einer Kreis-, bzw. Ellipsenbahn um den Punkt O mit Radius bewegt. Zur Zeit t befindet sich das Teilchen in A, zur Zeit t + dt in B. In der Zeit dt überstreicht der Radiusvektor OA die schattierte Fläche OAB. Diese Fläche kann als Dreieck betrachtet werden, das durch den Ortsvektor und die Verschiebung AB gebildet wird. Die Fläche OAB kann durch den Vektor dargestellt werden, der durch das Vektorprodukt

= x d

gegeben ist. Als Fläche, die pro Zeiteinheit von überstrichen wird, ergibt sich daher:

= x = x

wobei die Geschwindigkeit des Teilchens ist. Sofern das Flächengesetz gilt (das heißt, wenn r in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht), muß

= konstant

sein, was bedeutet, daß

x = konstanter Vektor

Der Drehimpuls des Teilchens ist daher, wenn man eine Masse berücksichtigt und den Impuls mit einbezieht:

= x = m ( x ) = konstant.

Das Flächengesetz beinhaltet daher, daß der Drehimpuls des Teilchens konstant ist. Da L senkrecht auf der Fläche steht bedeutet dies, daß die Kraft zentral ist, es sich also um eine Zentralkraft handelt.

7. Literaturverzeichnis:

Alonso Marcelo/ Finn Edward: Physik, 2. Aufl., Addison-Wesley Verlag, Bonn, 1988

Barlely: Physik (Kurs 1 Mechanik), 4. Aufl., o. Verl., o. Ort, o. J.

Baumgardt, Carola: Johannes Kepler - Leben und Briefe, 1. Aufl., Limes Verlag, Wiesbaden, 1953, Amerikanische Originalausgabe: Dorothy Canfield Fischer, Johannes Kepler - Life and Letters

Bergmann/ Schäfer: Lehrbuch der Exp. Physik, 9. Aufl., o. Verl., o. Ort, o. J., Bd. 1

Boll, Walter: Das Kepler Gedächtnishaus, Sammlungen der Stadt Regensburg, 5. Aufl., Mittelbayrische Druckerei- und Verlags-Gesellschaft, Regensburg, 1979

Born, Max: Die Relativitätstheorie Einsteins, 4. Aufl., Springer Verlag, Berlin, 1964

Brockhaus Enzyklopädie: 19. Aufl., F. A. Brockhaus, Mannheim, 1990

Budó A.: Theoretische Mechanik, o. Aufl., Deutscher Verlag der Wissenschaften, o. Ort, o. J.

Compuserve: Basic Services - Bertelsmann Lexikon - Stichwort: Kepler, Johannes

Döring, Detlef: Die Beziehungen zwischen Johannes Kepler und dem Leipziger Mathematikprofessor Philipp Müller, o. Aufl., Akademie-Verlag, Berlin, 1986

Dorn, Friedrich/ Bader, Franz: Physik (11. Jahrgangsstufe), 1. Aufl., Schroedel Schulbuchverlag, Hannover, 1986

Dorn, Friedrich/ Bader, Franz: Physik (Oberstufe Band MS), o. Aufl., Hermann Schroedel Verlag, Hannover, 1975

Dorn, Friedrich: Physik (Oberstufe Ausgabe A), 10. Aufl., Hermann Schroedel Verlag, Hannover, 1966

Dransfeld/ Kienle/ Vonach: Physik 1, 5. Aufl., o. Verl., o. Ort, o. J.

Duden: „Das Fremdwörterbuch", 4. Aufl., Dudenverlag Mannheim, 1982

Goldbeck Ernst: Keplers Lehre von der Gravitation, in Abhandlungen zur Philosophie und ihrer Geschichte von Benno Erdmann Heft 6, 1. Aufl., Georg Olms Verlag, Halle an der Saale, 1896, Nachdruck: o. Aufl., Max Niemeyer Verlag, Tübingen, 1980

Hammer Anton/ Karl: Physik (Sekundarstufe II - Mechanik), 1. Aufl., R. Oldenburg Verlag, München, 1978

Hemleben, Johannes: Johannes Kepler, o. Aufl., Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 1971

Henkel, Hans: Astronomie, 2. Aufl., Harri Deutsch/ Thun Verlag, Frankfurt/ Main, 1984

Höfling, Oskar: Physik (Mechanik - Wärme), 12. Aufl., Dümmler Verlag, o. Ort, o.J., Bd. 2

Höfling, Oskar: Physik, 12. Aufl., Dümmler Verlag, o. Ort, o.J., Bd. 1

Hoppe, Johannes: Johannes Kepler, in Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner, Bd. 17, 5. Aufl., B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 1987

Jordan, Pascual: Die Expansion der Erde (Folgerungen aus der Diracschen Gravitationshypothese), o. Aufl., Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Braunschweig, 1966

Kreische, Werner/ Kreisel Klaus: Klassische Mechanik, 1. Aufl., C. C. Buchners Verlag, Bamberg, 1987

Meyer, Bernd: Johannes Kepler in Regensburg, o. Aufl., Mittelbayerische Druckerei- und Verlags-Gesellschaft, Regensburg, 1981